Задача 1 . Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4; 3), В(16;-6), С(20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение медианы AE и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD.

Решение:

1. Расстояние d между точками A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) определяется по формуле

Применяя (1), находим длину стороны АВ:

2. Уравнение прямой, проходящей через точки A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) имеет вид

(2)

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:

Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:

откуда

Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой ВС:

Или

3. Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны и вычисляется по формуле

(3)

Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: Применяя (3), получим

Или рад.

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид

(4)

Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как то Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент высоты, получим

Чтобы найти длину высоты CD, определим сначала координаты точки D- точки пересечения прямых АВ и CD. Решая совместно систему:

находим т.е. D(8;0).

По формуле (1) находим длину высоты CD:

5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:

(5)

Следовательно,

Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:

Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений

Находим .

6. Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент получим

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка AM. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М:

Треугольник ABC, высота CD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат хОу на рис. 1.

Задача 2. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(4; 0) и до данной прямой х=1 равно 2.

Решение :

В системе координат хОу построим точку А(4;0) и прямую х = 1. Пусть М(х;у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую x = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, В(1;у) (рис. 2).

По условию задачи |МА|: |МВ| = 2. Расстояния |МА| и |MB| находим по формуле (1) задачи 1:

Возведя в квадрат левую и правую части, получим

Полученное уравнение представляет собой гипербо­лу, у которой действительная полуось а = 2,а мнимая –

Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы выполняется равенство Следовательно, и – фокусы гиперболы. Как видно, заданная точка А(4;0) является правым фокусом гиперболы.

Определим эксцентриситет полученной гиперболы:

Уравнения асимптот гиперболы имеют вид и . Следовательно, или и – асимптоты гиперболы. Прежде чем построить гиперболу, строим ее асимптоты.

Задача 3 . Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки А(4; 3) и прямой у = 1. Полученное уравнение привести к простейшему виду.

Решение: Пусть М(х; у) - одна из точек искомого геометрического места точек. Опустим из точки М перпендикуляр MB на данную прямую у = 1 (рис. 3). Определим координаты точки В. Очевидно, что абсцисса точки В равна абсциссе точки М, а ордината точки В равна 1, т. е. В(х; 1). По условию задачи |МА|=|МВ|. Следовательно, для любой точки М(х;у), принадлежащей искомому геометрическому месту точек, справедливо равенство:

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке Чтобы уравнение параболы привести к простейшему виду, положим и y + 2 = Y тогда уравнение параболы принимает вид:

Пример решения некоторых заданий из типовой работы «Аналитическая геометрия на плоскости»

Даны вершины ,
,
треугольника АВС. Найти:

Уравнения всех сторон треугольника;

Систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС ;

Уравнения высоты, медианы и биссектрисы треугольника, проведенных из вершины А ;

Точку пересечения высот треугольника;

Точку пересечения медиан треугольника;

Длину высоты, опущенной на сторону АВ ;

Угол А ;

Сделать чертеж.

Пусть вершины треугольника имеют координаты: А (1; 4), В (5; 3), С (3; 6). Сразу нарисуем чертеж:

1. Чтобы выписать уравнения всех сторон треугольника, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки с координатами (x 0 , y 0 ) и (x 1 , y 1 ):

=

Таким образом, подставляя вместо (x 0 , y 0 ) координаты точки А , а вместо (x 1 , y 1 ) координаты точки В , мы получим уравнение прямой АВ :

Полученное уравнение будет уравнением прямой АВ , записанным в общей форме. Аналогично находим уравнение прямой АС :

И так же уравнение прямой ВС :

2. Заметим, что множество точек треугольника АВС представляет собой пересечение трех полуплоскостей, причем каждую полуплоскость можно задать с помощью линейного неравенства. Если мы возьмем уравнение любой из сторон ∆АВС , например АВ , тогда неравенства

и

задают точки, лежащие по разные стороны от прямой АВ . Нам нужно выбрать ту полуплоскость, где лежит точка С. Подставим ее координаты в оба неравенства:

Правильным будет второе неравенство, значит, нужные точки определяются неравенством

.

Аналогично поступаем с прямой ВС, ее уравнение
. В качестве пробной используем точку А (1, 1):

значит, нужное неравенство имеет вид:

.

Если проверим прямую АС (пробная точка В), то получим:

значит, нужное неравенство будет иметь вид

Окончательно получаем систему неравенств:

Знаки «≤», «≥» означают, что точки, лежащие на сторонах треугольника, тоже включены во множество точек, составляющих треугольник АВС .

3. а) Для того, чтобы найти уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС , рассмотрим уравнение стороны ВС :
. Вектор с координатами
перпендикулярен сторонеВС и, значит, параллелен высоте. Запишем уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно вектору
:

Это уравнение высоты, опущенной из т. А на сторону ВС .

б) Найдем координаты середины стороны ВС по формулам:

Здесь
– это координаты т.В , а
– координаты т.С . Подставим и получим:

Прямая, проходящая через эту точку и точку А является искомой медианой:

в) Уравнение биссектрисы мы будем искать, исходя из того, что в равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, опущенные из одной вершины на основание треугольника, равны. Найдем два вектора
и
и их длины:

Тогда вектор
имеет такое же направление, что и вектор
, а его длина
Точно так же единичный вектор
совпадает по направлению с вектором
Сумма векторов

есть вектор, который совпадает по направлению с биссектрисой угла А . Таким образом, уравнение искомой биссектрисы можно записать виде:

4) Уравнение одной из высот мы уже построили. Построим уравнение еще одной высоты, например, из вершины В . Сторона АС задается уравнением
Значит, вектор
перпендикуляренАС , и, тем самым, параллелен искомой высоте. Тогда уравнение прямой, проходящей через вершину В в направлении вектора
(т. е. перпендикулярноАС ), имеет вид:

Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. В частности, эта точка является пересечением найденных высот, т.е. решением системы уравнений:

- координаты этой точки.

5. Середина АВ имеет координаты
. Запишем уравнение медианы к сторонеАВ. Эта прямая проходит через точки с координатами (3, 2) и (3, 6), значит, ее уравнение имеет вид:

Заметим, что ноль в знаменателе дроби в записи уравнения прямой означает, что эта прямая проходит параллельно оси ординат.

Чтобы найти точку пересечения медиан достаточно решить систему уравнений:

Точка пересечения медиан треугольника имеет координаты
.

6. Длина высоты, опущенной на сторону АВ, равна расстоянию от точки С до прямой АВ с уравнением
и находится по формуле:

7. Косинус угла А можно найти по формуле косинуса угла между векторами и, который равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин:

.

Инструкция

Вам заданы трех точек. Обозначим их как (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Предполагается, что эти точки являются вершинами некоторого треугольника . Задача в том, чтобы составить уравнения его сторон - точнее уравнения тех прямых, на которых лежат эти стороны. Эти уравнения должны иметь вид:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3.Таким образом, вам предстоит найти угловые k1, k2, k3 и смещения b1, b2, b3.

Найдите прямой, проходящей через точки (x1, y1), (x2, y2). Если x1 = x2, то искомая прямая вертикальна и ее уравнение x = x1. Если y1 = y2, то прямая горизонтальна и ее уравнение y = y1. В общем случае эти координаты не будут друг другу.

Подставляя координаты (x1, y1), (x2, y2) в общее уравнение прямой, вы получите систему из двух линейных уравнений:k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2.Вычтите одно уравнение из другого и решите полученное уравнение относительно k1:k1*(x2 - x1) = y2 - y1, следовательно, k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Подставляя найденное в любое из исходных уравнений, найдите выражение для b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1.Поскольку уже известно, что x2 ≠ x1, можно упростить выражение, умножив y1 на (x2 - x1)/(x2 - x1). Тогда для b1 вы получите следующее выражение:b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Проверьте, не ли третья из заданных точек на найденной прямой. Для этого подставьте (x3, y3) в выведенное уравнение и посмотрите, соблюдается ли равенство. Если оно соблюдается, следовательно, все три точки лежат на одной прямой, и треугольник вырождается в отрезок.

Тем же способом, что описан выше, выведите уравнения для прямых, проходящих через точки (x2, y2), (x3, y3) и (x1, y1), (x3, y3).

Окончательный вид уравнений для сторон треугольника, заданного координатами вершин, так:(1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1);
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

Чтобы найти уравнения сторон треугольника , прежде всего надо постараться решить вопрос о том, как найти уравнение прямой на плоскости, если известен ее направляющий вектор s(m, n) и некоторая точка М0(x0, y0), принадлежащая прямой.

Инструкция

Возьмите произвольную (переменную, плавающую) точку М(x, y) и постройте вектор М0M ={x-x0, y-y0} ( записать и М0M(x-x0, y-y0)), который, очевидно будет коллинеарен (параллелен) по к s. Тогда, можно заключить, что координаты этих векторов пропорциональны, поэтому можно составить каноническое прямой: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Именно это соотношение будет использоваться в при решении поставленной задачи.

Все дальнейшие действия определяются исходя из способа .1-й способ. Треугольник задан координатами трех его вершин, что в школьной геометрии заданию длин трех его сторон (см. рис. 1). То есть в условии даны точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Им соответствуют их радиус-векторы) OM1, 0M2 и ОМ3 с такими же, как и у точек, координатами. Для получения уравнения сторон ы М1М2 требуется ее направляющий вектор М1М2=ОМ2 – ОМ1=М1М2(x2-x1, y2-y1) и любая из точек М1 или М2 (здесь взята точка с меньшим индексом).

Итак, для сторон ы М1М2 каноническое уравнение прямой (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Действуя чисто индуктивно можно записать уравнения остальных сторон .Для сторон ы М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Для сторон ы М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

2-й способ. Треугольник задан двумя точками (теми же, что и ранее М1(x1, y1) и M2(x2, y2)), а также ортами направлений двух других сторон . Для сторон ы М2М3: p^0(m1, n1). Для М1М3: q^0(m2, n2). Поэтому для сторон ы М1М2 будет тем же, что и в первом способе:(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

Для сторон ы М2М3 в качестве точки (x0, y0) канонического уравнения (x1, y1), а направ-ляющий вектор – это p^0(m1, n1). Для сторон ы М1М3 в качестве точки (x0, y0) берется (x2, y2), направляющий вектор – q^0(m2, n2). Таким образом, для М2М3: уравнение (x-x1)/m1=(y-y1)/n1.Для М1М3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

Видео по теме

Совет 3: Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек

Высотой называют отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Этот отрезок обязательно должен быть перпендикулярен стороне, поэтому из каждой вершины можно провести лишь одну высоту . Поскольку вершин в этой фигуре три, высот в нем столько же. Если треугольник задан координатами своих вершин, вычисление длины каждой из высот можно произвести, например, воспользовавшись формулой нахождения площади и рассчитав длины сторон.

Инструкция

Начните с вычисления длин сторон треугольника . Обозначьте координаты фигуры так: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃). Тогда длину стороны AB вы сможете рассчитать по формуле AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Для двух других сторон эти будут выглядеть так: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) и AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²). Например, для треугольника с координатами A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) длина стороны AB составит √((3-16)² + (5-14)² + (7-19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Длины сторон BC и AC, рассчитанные таким же способом, будут равны √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 и √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

Знания длин трех сторон, полученных на предыдущем шагу, достаточно для вычисления площади треугольника (S) по формуле Герона: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Например, подстановки в эту формулу значений, полученных из координат треугольника -образца из предыдущего шага, эта даст значение: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+20,12-7)) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815.

Исходя из площади треугольника , рассчитанной на предыдущем шаге, и длин сторон, полученных на втором шаге, вычислите высоты для каждой из сторон. Так как площадь равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой она проведена, для нахождения высоты делите удвоенную площадь на длину нужной стороны: H = 2*S/a. Для использованного выше примера высота, опущенная на сторону AB составит 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, высота к стороне ВС иметь длину 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, а для стороны АС эта величина будет равна 2*68,815/7 ≈ 19,66.

Источники:

• даны точки найти площадь треугольника

Совет 4: Как по координатам вершин треугольника найти уравнения его сторон

В аналитической геометрии треугольник на плоскости можно задать в декартовой системе координат. Зная координаты вершин, вы можете составить уравнения сторон треугольника. Это будут уравнения трех прямых, которые, пересекаясь, образуют фигуру.

1. Уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты.
В задании даны координаты точек, через которые проходят эти прямые, поэтому воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$ подставляем и получаем уравнения
уравнение прямой AB $$\frac{x+6}{6+6}=\frac{y-8}{-1-8} => y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{2}$$ угловой коэффициент прямой AB равен \(k_{AB} = -\frac{3}{4}\)
уравнение прямой BC $$\frac{x-4}{6-4}=\frac{y-13}{-1-13} => y = -7x + 41$$ угловой коэффициент прямой BC равен \(k_{BC} = -7\)

2. Угол В в радианах с точностью до двух знаков
Угол B - угол между прямыми AB и BC, который рассчитывается по формуле $$tg\phi=|\frac{k_2-k_1}{1+k_2*k_1}|$$подставляем значения угловых коэффициентов этих прямых и получаем $$tg\phi=|\frac{-7+\frac{3}{4}}{1+7*\frac{3}{4}}| = 1 => \phi = \frac{\pi}{4} \approx 0.79$$
3.Длину стороны АВ
Длина стороны AB рассчитывается как расстояние между точками и равна \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\) => $$d_{AB} = \sqrt{(6+6)^2+(-1-8)^2} = 15$$
4.Уравнение высоты CD и ее длину.
Уравнение высоты будем находить по формуле прямой проходящей через заданную точку С(4;13) в заданном направлении - перпендикулярно прямой AB по формуле \(y-y_0=k(x-x_0)\). Найдем угловой коэффициент высоты \(k_{CD}\) воспользовавшись свойством перпендикулярных прямых \(k_1=-\frac{1}{k_2}\) получим $$k_{CD}= -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$$ Подставляем в уравнение прямой, получаем $$y - 13 = \frac{4}{3}(x-4) => y = \frac{4}{3}x+\frac{23}{3}$$ Длину высоты будем искать как расстояние от точки С(4;13) до прямой AB по формуле $$d = \frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ в числителе уравнение прямой AB, приведем его к этому виду \(y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{2} => 4y+3x-14 = 0\) , подставляем полученное уравнение и координаты точки в формулу $$d = \frac{4*13+3*4-14 }{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{50}{5} =10$$

5. Уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечение этой медианы с высотой CD.
Уравнение медианы будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А(-6;8) и E , где точка E - середина между точками B и C и ее координаты находятся по формуле \(E(\frac{x_2+x_1}{2};\frac{y_2+y_1}{2})\) подставляем координаты точек \(E(\frac{6+4}{2};\frac{-1+13}{2})\) => \(E(5; 6)\), тогда уравнение медианы AE буде следующее $$\frac{x+6}{5+6}=\frac{y-8}{6-8} => y = -\frac{2}{11}x + \frac{76}{11}$$Найдем координаты точки пересечения высот и медианы, т.е. найдем их общую точку Для этого составим систему уравнение $$\begin{cases}y = -\frac{2}{11}x + \frac{76}{11}\\y = \frac{4}{3}x+\frac{23}{3}\end{cases}=>\begin{cases}11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end{cases}=>$$$$\begin{cases}22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end{cases}=> \begin{cases}25y =175\\3y = 4x+23\end{cases}=> $$$$\begin{cases}y =7\\ x=-\frac{1}{2}\end{cases}$$ Координаты точки пересечения \(K(-\frac{1}{2};7)\)

6.Уравнение прямой что проходит через точку К параллельно к стороне АВ.
Если прямая параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т.е. \(k_{AB}=k_{K} = -\frac{3}{4}\) , также известны координаты точки \(K(-\frac{1}{2};7)\), т.е. для нахождения уравнения прямой применим формулу уравнения прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении \(y - y_0=k(x-x_0)\), подставляем данные и получаем $$y - 7= -\frac{3}{4}(x-\frac{1}{2}) => y = -\frac{3}{4}x + \frac{53}{8}$$

8. Координаты точки М которая симметрична точке А относительно прямой CD.
Точка M лежит на прямой AB, т.к. CD - высота к этой стороне. Найдем точку пересечения CD и AB для этого решим систему уравнений $$\begin{cases}y = \frac{4}{3}x+\frac{23}{3}\\y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{2}\end{cases} =>\begin{cases}3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end{cases} => $$$$\begin{cases}12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end{cases} =>
\begin{cases}0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end{cases} => $$$$\begin{cases}x=-2\\y=5 \end{cases}$$ Координаты точки D(-2;5). По условию AD=DK, это расстояние между точками находится по формуле Пифагора \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\), где AD и DK - гипотенузы равных прямоугольных треугольников, а \(Δx =x_2-x_1\) и \(Δy=y_2-y_1\) - катеты этих треугольников, т.е. найдем катеты найдем и координаты точки M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), а \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), тогда координаты точки M будут равны \(x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), а \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), получили, что координаты точки \(M(2;2)\)