Вычислить криволинейный интеграл l дуга. Вычислить криволинейный интеграл I рода по дуге L. Задача о работе силы
Определение: Пусть в каждой точки гладкой кривой L = AB в плоскости Oxy задана непрерывная функция двух переменных f(x,y) . Произвольно разобьем кривую L на n частей точками A = М 0 , М 1 , М 2 , ... М n = B. Затем на каждой из полученых частей \(\bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}\) выберем любую точку \(\bar{{M}_{i}}\left(\bar{{x}_{i}},\bar{{y}_{i}}\right)\)и составим сумму $${S}_{n}=\sum_{i=1}^{n}f\left(\bar{{x}_{i}},\bar{{y}_{i}}\right)\Delta {l}_{i}$$ где \(\Delta{l}_{i}={M}_{i-1}{M}_{i}\) - дуга дуги \(\bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}\). Полученная сумма называется интегральной суммой первого рода для функции f(x,y) , заданой на кривой L.
Обозначим через d наибольшую из длин дуг \(\bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}\) (таким образом, d = \(max_{i}\Delta{l}_{i}\)). Если при d ? 0 существует предел интегральных сумм S n (не зависящих от способа разбиения кривой L на части и выбора точек \(\bar{{M}_{i}}\)), то этот предел называется криволинейным интегралом первого порядка от функции f(x,y) по кривой L и обозначается $$\int_{L}f(x,y)dl$$
Можно доказать, что если функция f(x,y) непрерывна, то криволинейный интеграл \(\int_{L}f(x,y)dl\) существует.
Свойства криволинейного интеграла 1 рода
Криволинейный интеграл первого рода обладает свойствами, аналогичными соответствующим свойства определеннного интеграла:
- аддитивность,
- линейность,
- оценка модуля,
- теорема о среднем.
Однако есть отличие: $$\int_{AB}f(x,y)dl=\int_{BA}f(x,y)dl$$ т.е. криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования.
Вычисление криволинейных интегралов первого рода
Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. А именно:
- Если кривая L задана непрерывно дифференцируемой функцией y=y(x), x \(\in \) , то $${\int\limits_L {f\left({x,y} \right)dl} } = {\int\limits_a^b {f\left({x,y\left(x \right)} \right)\sqrt {1 + {{\left({y"\left(x \right)} \right)}^2}} dx} ;}$$ при этом выражение \(dl=\sqrt{{1 + {{\left({y"\left(x \right)} \right)}^2}}} dx \) называется дифференциалом длины дуги.
- Если крива L задана параметрически, т.е. в виде x=x(t), y=y(t), где x(t), y(t) - непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке \(\left [ \alpha ,\beta \right ]\), то $$ {\int\limits_L {f\left({x,y} \right)dl} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {f\left ({x\left(t \right),y\left(t \right)} \right)\sqrt {{{\left({x"\left(t \right)} \right)}^2} + {{\left({y"\left(t \right)} \right)}^2}} dt}} $$ Это равенство распространяется на случай пространственной кривой L, заданной параметрически: x=x(t), y=y(t), z=z(t), \(t\in \left [ \alpha ,\beta \right ]\). В этом случае, если f(x,y,z) - непрерывная функция вдоль кривой L, то $$ {\int\limits_L {f\left({x,y,z} \right)dl} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {f\left [ {x\left(t \right),y\left(t \right),z\left(t \right)} \right ]\sqrt {{{\left({x"\left(t \right)} \right)}^2} + {{\left({y"\left(t \right)} \right)}^2} + {{\left({z"\left(t \right)} \right)}^2}} dt}} $$
- Если плоская кривая L задана полярным уравнением r=r(\(\varphi \)), \(\varphi \in\left [ \alpha ,\beta \right ] \), то $$ {\int\limits_L {f\left({x,y} \right)dl} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {f\left({r\cos \varphi ,r\sin \varphi } \right)\sqrt {{r^2} + {{{r}"}^2}} d\varphi}} $$
Криволинейные интегралы 1 рода - примеры
Пример 1
Вычислить криволинейный интеграл первого рода
$$ \int_{L}\frac{x}{y}dl $$ где L дуга параболы y 2 =2x, заключенная между точками (2,2) и (8,4).
Решение: Найдем дифференциал дуги dl для кривой \(y=\sqrt{2x}\). Имеем:
\({y}"=\frac{1}{\sqrt{2x}} \) $$ dl=\sqrt{1+\left ({y}" \right)^{2}} dx= \sqrt{1+\left (\frac{1}{\sqrt{2x}} \right)^{2}} dx = \sqrt{1+ \frac{1}{2x}} dx $$ Следовательно данный интеграл равен: $$\int_{L}\frac{x}{y}dl=\int_{2}^{8}\frac{x}{\sqrt{2x}}\sqrt{1+\frac{1}{2x}}dx= \int_{2}^{8}\frac{x\sqrt{1+2x}}{2x}dx= $$ $$ \frac{1}{2}\int_{2}^{8}\sqrt{1+2x}dx = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}\left (1+2x \right)^{\frac{3}{2}}|_{2}^{8}= \frac{1}{6}(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}) $$
Пример 2
Вычислить криволинейный интеграл первого рода \(\int_{L}\sqrt{x^2+y^2}dl \), где L - окружность x 2 +y 2 =ax (a>0).
Решение: Введем полярные координаты: \(x = r\cos \varphi \), \(y=r\sin \varphi \). Тогда поскольку x 2 +y 2 =r 2 , уравнение окружности имеет вид: \(r^{2}=arcos\varphi \), то есть \(r=acos\varphi \), а дифференциал дуги $$ dl = \sqrt{r^2+{2}"^2}d\varphi = $$ $$ =\sqrt{a^2cos^2\varphi=a^2sin^2\varphi }d\varphi=ad\varphi $$.
При этом \(\varphi\in \left [- \frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2} \right ] \). Следовательно, $$ \int_{L}\sqrt{x^2+y^2}dl=a\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}acos\varphi d\varphi =2a^2 $$
Вычисление объема удобнее вести в цилиндрических координатах. Уравнение окружности, ограничивающей областьD , конуса и параболоида
соответственно принимают вид ρ = 2, z = ρ , z = 6 − ρ 2 . С учетом того, что данное тело симметрично относительно плоскостей xOz и yOz . имеем
6− ρ 2 |
||||
V = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ z |
6 ρ − ρ 2 d ρ = |
|||
4 ∫ d ϕ∫ (6 ρ − ρ3 − ρ2 ) d ρ =
2 d ϕ = |
|||||||||||||||||
4 ∫ 2 (3 ρ 2 − |
∫ 2 d ϕ = |
32π |
|||||||||||||||
Если не учитывать симметрию, то |
|||||||||||||||||
6− ρ 2 |
32π |
||||||||||||||||
V = ∫ |
dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz = |
||||||||||||||||
3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда областью интегрирования является некоторая кривая. Интегралы такого рода называются криволинейными. Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные интегралы по длине дуги и криволинейные интегралы по координатам.
3.1. Определение криволинейного интеграла первого типа (по длине дуги). Пусть функция f (x, y) определена вдоль плоской кусочно-
гладкой1 кривой L , концами которой будут точки A и B . Разобьем кривую L произвольным образом на n частей точками M 0 = A , M 1 ,... M n = B . На
каждой из частичных дуг M i M i + 1 выберем произвольную точку (x i , y i ) и вычислим значения функции f (x, y) в каждой из этих точек. Сумма
1 Кривая называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная, непрерывно изменяющаяся вдоль кривой. Кусочногладкой кривой называется кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков.
n− 1 |
|
σ n = ∑ f (x i , y i ) ∆ l i , |
i = 0
где∆ l i – длина частичной дуги M i M i + 1 , называется интегральной суммой
для функции f (x , y ) по кривой L . Обозначим наибольшую из длин |
|||
частичных дуг M i M i + 1 , i = |
|||
0 ,n − 1 черезλ , то есть λ = max ∆ l i . |
|||
0 ≤i ≤n −1 |
|||
Если существует конечный предел I интегральной суммы (3.1) |
|||
стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дугM i M i + 1 , |
|||
зависящий ни от способа разбиения кривой L на частичные дуги, ни от |
выбора точек (x i , y i ) , то этот предел называется криволинейным интегралом первого типа (криволинейным интегралом по длине дуги) от функции f (x , y ) по кривой L и обозначается символом ∫ f (x , y ) dl .
Таким образом, по определению |
||
n− 1 |
||
I = lim ∑ f (xi , yi ) ∆ li = ∫ f (x, y) dl. |
||
λ → 0 i = 0 |
Функция f (x , y ) называется в этом случае интегрируемой вдоль кривой L ,
кривая L = AB - контуром интегрирования, А – начальной, а В - конечной точками интегрирования, dl - элементом длины дуги.
Замечание 3.1. Если в (3.2) положить f (x , y ) ≡ 1 для (x , y ) L , то
получим выражение длины дуги L в виде криволинейного интеграла первого типа
l = ∫ dl.
Действительно, из определения криволинейного интеграла следует, |
||||
dl = lim n − 1 |
||||
∆l |
Lim l = l . |
|||
λ → 0 ∑ |
λ→ 0 |
|||
i = 0 |
||||
3.2. Основные свойства криволинейного интеграла первого типа |
||||
аналогичны свойствам определенного интеграла: |
||||
1 о . ∫ [ f1 (x, y) ± f2 (x, y) ] dl = ∫ f1 (x, y) dl ± ∫ f2 (x, y) dl. |
||||
2 о . ∫ cf (x , y ) dl = c ∫ f (x , y ) dl , где с - константа. |
||||
и L , не |
||||
3 о . Если контур интегрирования L разбит на две части L |
||||
имеющие общих внутренних точек, то
∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl + ∫ f (x, y)dl.
4 о .Отметим особо, что величина криволинейного интеграла первого типа не зависит от направления интегрирования, так как в формировании интегральной суммы (3.1) участвуют значения функции f (x , y ) в
произвольных точках и длины частичных дуг ∆ l i , которые положительны,
независимо от того, какую точку кривой AB считать начальной, а какую – конечной, то есть
f (x, y) dl = ∫ f (x, y) dl . |
|||
3.3. Вычисление криволинейного интеграла первого типа |
|||
сводится к вычислению определенных интегралов. |
|||
x= x(t) |
|||
Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями |
y= y(t) |
||
Пустьα и β – значения параметра t , соответствующие началу (точка А ) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
концу (точка В ) |
[α , β ] |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x (t ), y (t ) и |
производные |
x (t), y (t) |
Непрерывны, |
f (x , y ) - |
|||||||||||||||||||||||||||||
непрерывна вдоль кривой L . Из курса дифференциального исчисления |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
функций одной переменной известно, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dl = (x (t)) |
+ (y (t )) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(t), y(t)) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(x (t ) |
+ (y (t )) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ x2 dl, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 3.1. |
Вычислить |
окружности |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x= a cos t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ t ≤ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
y= a sin t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Так как x (t ) = − a sin t , y (t ) = a cos t , то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dl = |
(− a sin t) 2 + (a cos t) 2 dt = a2 sin 2 t + cos 2 tdt = adt |
||||||||||||||||||||||||||||||||
и по формуле (3.4) получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Cos 2t )dt = |
sin 2t |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ x2 dl = ∫ a2 cos 2 t adt = a |
3 ∫ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
πa 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
sin π |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
L задана |
уравнением |
y = y(x) , |
a ≤ x ≤ b |
y(x) |
||||||||||||||||
непрерывна вместе со своей производной y |
(x ) при a ≤ x ≤ b , то |
|||||||||||||||||||
dl = |
||||||||||||||||||||
1+ (y (x )) |
||||||||||||||||||||
и формула (3.4) принимает вид |
||||||||||||||||||||
∫ f (x, y) dl = ∫ f (x, y(x)) |
||||||||||||||||||||
(y (x )) |
||||||||||||||||||||
L задана |
x = x(y), c ≤ y ≤ d |
x (y ) |
||||||||||||||||||
уравнением |
||||||||||||||||||||
непрерывна вместе со своей производной x (y ) при c ≤ y ≤ d , то |
||||||||||||||||||||
dl = |
||||||||||||||||||||
1+ (x (y )) |
||||||||||||||||||||
и формула (3.4) принимает вид |
||||||||||||||||||||
∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(y), y) |
||||||||||||||||||||
1 + (x (y )) |
||||||||||||||||||||
Пример 3.2. Вычислить ∫ ydl, где L – дуга параболы |
2 x от |
|||||||||||||||||||
точки А (0,0) до точки В (2,2). |
||||||||||||||||||||
Решение . Вычислим интеграл двумя способами, применяя |
||||||||||||||||||||
формулы (3.5) и(3.6) |
||||||||||||||||||||
1)Воспользуемся формулой (3.5). Так как |
||||||||||||||||||||
2x (y ≥ 0), y ′ |
||||||||||||||||||||
2 x = |
2 x , |
dl = |
1+ 2 x dx , |
|||||||||||||||||
3 / 2 2 |
||||||||||||||||||||
1 (5 |
3 2 − 1) . |
|||||||||||||||||||
∫ ydl = ∫ |
2 x + 1 dx = ∫ (2 x + 1) 1/ 2 dx = |
1 (2x + 1) |
||||||||||||||||||
2)Воспользуемся формулой (3.6). Так как |
||||||||||||||||||||
x = 2 , x |
Y, dl |
1 + y |
||||||||||||||||||
y 1 + y 2 dy = |
(1 + y |
/ 2 2 |
||||||
∫ ydl = ∫ |
||||||||
3 / 2 |
||||||||
1 3 (5 5 − 1).
Замечание 3.2. Аналогично рассмотренному, можно ввести понятие криволинейного интеграла первого типа от функции f (x , y , z ) по
пространственной кусочно-гладкой кривой L :
Если кривая L задана параметрическими уравнениями
α ≤ t ≤ β , то
dl = |
||||||||||||||||
(x (t )) |
(y (t )) |
(z (t )) |
||||||||||||||
∫ f (x, y, z) dl = |
||||||||||||||||
= ∫ |
dt . |
|||||||||||||||
f (x (t ), y (t ), z (t )) (x (t )) |
(y (t )) |
(z (t )) |
x= x(t) , y= y(t)
z= z(t)
Пример 3.3. Вычислить∫ (2 z − x 2 + y 2 ) dl , где L – дуга кривой
x= t cos t |
0 ≤ t ≤ 2 π. |
|
y = t sin t |
||
z = t |
||
x′ = cost − t sint, y′ = sint + t cost, z′ = 1 , |
||
dl = |
(cos t − t sin t)2 + (sin t + t cos t)2 + 1 dt = |
Cos2 t − 2 t sin t cos t + t2 sin2 t + sin2 t + 2 t sin t cos t + t2 cos2 t + 1 dt =
2 + t2 dt .
Теперь по формуле (3.7) имеем
∫ (2z − |
x2 + y2 ) dl = ∫ (2 t − |
t 2 cos 2 t + t 2 sin 2 t ) |
2 + t 2 dt = |
|||||||||||||||||||
T 2 ) |
||||||||||||||||||||||
= ∫ |
t 2 + t |
dt = |
4 π |
− 2 2 |
||||||||||||||||||
цилиндрической |
поверхности, |
|||||||||||||||||||||
которая составлена из перпендикуляров к |
||||||||||||||||||||||
плоскости xOy , |
восстановленных в точках |
|||||||||||||||||||||
(x , y ) |
L = AB |
и имеющих |
представляет собой массу кривой L , имеющей переменную линейную плотность ρ (x , y )
линейная плотность которой меняется по закону ρ (x , y ) = 2 y .
Решение. Для вычисления массы дуги AB воспользуемся формулой (3.8). Дуга AB задана параметрически, поэтому для вычисления интеграла (3.8) применяем формулу (3.4). Так как
1+ t |
dt , |
|||||||||||||||||||||
x (t) = 1, y (t) = t , dl = |
||||||||||||||||||||||
3/ 2 1 |
||||||||||||||||||||||
1 (1+ t |
||||||||||||||||||||||
m = ∫ 2 ydl = ∫ |
1 2 + t2 dt = ∫ t 1 + t2 dt = |
|||||||||||||||||||||
(2 3 / 2 − |
1) = |
2 2 − 1. |
||||||||||||||||||||
3.4. Определение криволинейного интеграла второго типа (по |
||||||||||||||||||||||
координатам ). Пусть функция |
f (x , y ) определена вдоль плоской |
|||||||||||||||||||||
кусочно-гладкой кривойL , концами которой будут точки А и В . Опять |
||||||||||||||||||||||
произвольным |
разобьем |
кривую L |
||||||||||||||||||||
M 0 = A , M 1 ,... M n = B Так же выберем в пределах |
каждой частичной |
|||||||||||||||||||||
дуги M i M i + 1 |
произвольную точку |
(xi , yi ) |
и вычислим |
На случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая: где f (x , y ) - функция двух переменных, а L - кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB . Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов? Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L , а функция двух переменных f (x , y ) определена в точках кривой L . Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.
Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f (x , y ) по кривой AB .
Случай криволинейного интеграла Введём следующие ообозначения. M i (ζ i ; η i ) - выбранная на каждом участке точка с координатами. f i (ζ i ; η i ) - значение функции f (x , y ) в выбранной точке. Δs i - длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода). Δx i - проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода). d = maxΔs i - длина самой длинной части отрезка кривой. Криволинейные интегралы первого родаИсходя из вышеизложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл первого рода записывается так: . Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл . Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный: В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B ) считать началом отрезка, а какую концом, то есть . Криволинейные интегралы второго родаИсходя из изложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл второго рода записывается так: . В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется: . При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции f i (ζ i ; η i ) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy . Тогда получим интеграл . На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P (x , y ) и f = Q (x , y ) и интегралы , а сумма этих интегралов называется общим криволинейным интегралом второго рода . Вычисление криволинейных интегралов первого родаВычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Рассмотрим два случая. Пусть на плоскости задана кривая y = y (x ) и отрезку кривой AB соответствует изменение переменной x от a до b . Тогда в точках кривой подынтегральная функция f (x , y ) = f (x , y (x )) ("игрек" должен быть выражен через "икс"), а дифференциал дуги и криволинейный интеграл можно вычислить по формуле . Если интеграл проще интегрировать по y , то из уравнения кривой нужно выразить x = x (y ) ("икс" через "игрек"), где и интеграл вычисляем по формуле . Пример 1. где AB - отрезок прямой между точками A (1; −1) и B (2; 1) . Решение. Составим уравнение прямой AB , используя формулу (уравнение прямой, проходящей через две данные точки A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ) ): Из уравнения прямой выразим y через x : Тогда и теперь можем вычислять интеграл, так как у нас остались одни "иксы": Пусть в пространстве задана кривая Тогда в точках кривой функцию нужно выразить через параметр t () а дифференциал дуги , поэтому криволинейный интеграл можно вычислить по формуле Аналогично, если на плоскости задана кривая , то криволинейный интеграл вычисляется по формуле . Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл где L - часть линии окружности находящаяся в первом октанте. Решение. Данная кривая - четверть линии окружности, расположенная в плоскости z = 3 . Она соответствует значениям параметра . Так как то дифференциал дуги Подынтегральную функцию выразим через параметр t : Теперь, когда у нас всё выражено через параметр t , можем свести вычисление данного криволинейного интеграла к определённому интегралу: Вычисление криволинейных интегралов второго родаТак же, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, вычисление интегралов второго рода сводится к вычислению определённых интегралов. Кривая дана в декартовых прямоугольных координатахПусть дана кривая на плоскости уравнением функции "игрек", выраженной через "икс": y = y (x ) и дуге кривой AB соответствует изменение x от a до b . Тогда в подынтегральную функцию подставим выражение "игрека" через "икс" и определим дифференциал этого выражения "игрека" по "иксу": . Теперь, когда всё выражено через "икс", криволинейный интеграл второго рода вычисляется как определённый интеграл: Аналогично вычисляется криволинейный интеграл второго рода, когда кривая дана уравнением функции "икс", выраженной через "игрек": x = x (y ) , . В этом случае формула для вычисления интеграла следующая: Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл , если а) L - отрезок прямой OA , где О (0; 0) , A (1; −1) ; б) L - дуга параболы y = x ² от О (0; 0) до A (1; −1) . а) Вычислим криволинейный интеграл по отрезку прямой (на рисунке - синяя). Напишем уравнение прямой и выразим "игрек" через "икс": . Получаем dy = dx . Решаем данный криволинейный интеграл: б) если L - дуга параболы y = x ² , получим dy = 2xdx . Вычисляем интеграл: В только что решённом примере получили в двух случаях один и тот же результат. И это не совпадение, а результат закономерности, так как данный интеграл удовлетворяет условиям следующей теоремы. Теорема . Если функции P (x ,y ) , Q (x ,y ) и их частные производные , - непрерывные в области D функции и в точках этой области частные производные равны, то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования по линии L , находящейся в области D . Кривая дана в параметрической формеПусть в пространстве дана кривая . а в подынтегральные функции подставим выражения этих функций через параметр t . Получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла: Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл , если L - часть эллипса отвечающая условию y ≥ 0 . Решение. Данная кривая - часть эллипса, находящаяся в плоскости z = 2 . Она соответствует значению параметра . можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его: Если дан криволинейный интеграл и L - замкнутая линия, то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и его проще вычислить по формуле Грина . Больше примеров вычисления криволинейных интеграловПример 5. Вычислить криволинейный интеграл где L - отрезок прямой между точками её пересечения с осями координат. Решение. Определим точки пересечения прямой с осями координат. Подставив в уравнение прямой y = 0 , получим , . Подставив x = 0 , получим , . Таким образом, точка пересечения с осью Ox - A (2; 0) , с осью Oy - B (0; −3) . Из уравнения прямой выразим y : . , . Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и начать вычислять его: В подынтегральном выражении выделяем множитель , выносим его за знак интеграла. В получившемся после этого подынтегральном выражении применяем подведение под знак дифференциала и окончательно получаем. Лекция 5 Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства.. Задача о массе кривой. Криволинейный интеграл 1 рода. Задача о массе кривой. Пусть в каждой точке кусочно-гладкой материальной кривой L: (AB) задана ее плотность . Определить массу кривой. Поступим так же, как мы поступали при определении массы плоской области (двойной интеграл) и пространственного тела (тройной интеграл). 1. Организуем разбиение области- дуги L на элементы – элементарные дуги так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и(условие А )
3. Построим интегральную сумму , где - длина дуги (обычно вводятся одни и те же обозначения для дуги и ее длины). Это – приблизительное значение массы кривой. Упрощение состоит в том, что мы предположили плотность дуги постоянной на каждом элементе и взяли конечное число элементов. Переходя к пределу при условии (условие В ), получим криволинейный интеграл первого рода как предел интегральных сумм: . Теорема существования. Пусть функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге L. Тогда криволинейный интеграл первого рода существует как предел интегральных сумм. Замечание. Предел этот не зависит от Свойства криволинейного интеграла первого рода. 1. Линейность
б) свойство однородности . Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат. 2. Аддитивность. 3. .Здесь – длина дуги . 4. Если на дуге выполнено неравенство , то Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу. Заметим, что, в частности, возможно 5. Теорема об оценке. Если существуют константы , что , то Доказательство. Интегрируя неравенство (свойство 4), получим . По свойству 1 константы можно вынести из-под интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат. 6. Теорема о среднем (значении интеграла). Существует точка , что Доказательство. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то существует ее нижняя грань и верхняя грань . Выполнено неравенство . Деля обе части на L, получим . Но число заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве L, то в некоторой точке функция должна принимать это значение. Следовательно, . Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Параметризуем дугу L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Пусть t 0 соответствует точке A, а t 1 соответствует точке B. Тогда криволинейный интеграл первого рода сводится к определенному интегралу ( - известная из 1 семестра формула для вычисления дифференциала длины дуги): Пример. Вычислить массу одного витка однородной (плотность равна k) винтовой линии: . Криволинейный интеграл 2 рода. Задача о работе силы.
1. Организуем разбиение области- дуги AB на элементы – элементарные дуги так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и(условие А ) 2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» M i и вычислим в них значения функции 3. Построим интегральную сумму , где вектор, направленный по хорде, стягивающей -дугу . 4. Переходя к пределу при условии (условие В ), получим криволинейный интеграл второго рода как предел интегральных сумм (и работу силы): . Часто обозначают Теорема существования. Пусть вектор - функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге L. Тогда криволинейный интеграл второго рода существует как предел интегральных сумм. . Замечание. Предел этот не зависит от Способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А Выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения, Способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В Свойства криволинейного интеграла 2 рода. 1. Линейность
б) свойство однородности . Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, используя свойство скалярного произведения, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат. 2. Аддитивность. Доказательство. Выберем разбиение области L так, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы L 1 , так и элементы L 2 . Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1. 3. Ориентируемость. = - Доказательство. Интеграл по дуге –L, т..е. в отрицательном направлении обхода дуги есть предел интегральных сумм, в слагаемых которых вместо стоит (). Вынося «минус» из скалярного произведения и из суммы конечного числа слагаемых, переходя к пределу, получим требуемый результат. Криволинейный интеграл 2-ого рода вычисляется так же, как криволинейный интеграл 1-ого рода сведением к определённому. Для этого все переменные под знаком интеграла выражают через одну переменную, используя уравнение той линии, вдоль которой производится интегрирование. а) Если линия АВ задана системой уравнений то (10.3) Для плоского случая, когда кривая задана уравнением криволинейный интеграл вычисляется по формуле: . (10.4) Если линия АВ задана параметрическими уравнениями то (10.5) Для плоского случая, еслилиния АВ задана параметрическими уравнениями , криволинейный интеграл вычисляется по формуле: , (10.6) где - значения параметра t, соответствующие начальной и конечной точкам пути интегрирования. Если линия АВ кусочно-гладкая, то следует воспользоваться свойством аддитивности криволинейного интеграла, разбив АВ на гладкие дуги. Пример 10.1 Вычислим криволинейный интеграл вдоль контура, состоящего из части кривой от точки до и дуги эллипса от точки до . Т. к. контур состоит из двух частей, воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла: . Сведём оба интеграла к определённым. Часть контура задана уравнением относительно переменной . Воспользуемся формулой (10.4 ), в которой поменяем ролями переменные. Т.е.. После вычисления получим . Для вычисления интеграла по контуру ВС перейдём к параметрической форме записи уравнения эллипса и воспользуемся формулой (10.6). Обратите внимание на пределы интегрирования. Точке соответствует значение , а точке соответствует Ответ: Пример 10.2. Вычислим вдоль отрезка прямой АВ , где А(1,2,3), В(2,5,8). Решение . Задан криволинейный интеграл 2-ого рода. Для вычисления необходимо преобразовать его в определённый. Составим уравнения прямой. Её направляющий вектор имеет координаты . Канонические уравнения прямой АВ: . Параметрические уравнения этой прямой: , При Воспользуемся формулой (10.5) : Вычислив интеграл, получим ответ: . 5. Работа силы при перемещении материальной точки единичной массы из точки в точку вдоль кривой . Пусть в каждой точке кусочно –гладкой кривой задан вектор, имеющий непрерывные функции-координаты: . Разобьём эту кривую на малых частей точками так, чтобы в точках каждой части значение функций . (10.7) Таким образом, физический смысл криволинейного интеграла 2-ого рода - это работа, произведённая силой при перемещении материальной точки от А к В по контуру L . Пример 10.3. Вычислим работу, производимую вектором при перемещении точки вдоль части кривой Вивиани, заданной как пересечение полусферы и цилиндра , пробегаемой против часовой стрелки, если смотреть с положительной части оси OX. Решение . Построим заданную кривую как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 10.3). . Чтобы свести подынтегральное выражение к одной переменной, перейдём в цилиндрическую систему координат: . Т.к. точка перемещается по кривой , то удобно в качестве параметра выбрать переменную , которая вдоль контура меняется так, что . Тогда получаем следующие параметрические уравнения этой кривой: .При этом Подставим полученные выражения в формулу для вычисления циркуляции: ( - знак + указывает на то, что движение точки по контуру происходит против часовой стрелки) Вычислим интеграл и получим ответ: . Занятие 11 . Формула Грина для односвязной области. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. Нахождение функции по ее полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла (плоский и пространственный случаи). ОЛ-1 гл.5, ОЛ-2 гл.3, ОЛ-4 гл.3 § 10, п. 10.3, 10.4. Практика : ОЛ-6№№ 2318(а,б,д),2319(а,в),2322(а,г),2327,2329 илиОЛ-5 №№10.79, 82, 133, 135, 139. Домашнее здание к занятию 11 : ОЛ-6 №№ 2318 (в,г), 2319(в,г), 2322(б,в), 2328, 2330 или ОЛ-5 №№ 10.80, 134, 136, 140 Формула Грина. Пусть на плоскости дана односвязная область , ограниченная кусочно- гладким замкнутым контуром . (Область называется односвязной, если в ней любой замкнутый контур может быть стянут в точку этой области). Теорема . Если функции и их частные производные Г , то
- формула Грина . (11.1) Обозначает положительное направление обхода (против часовой стрелки). Пример 11.1. Используя формулу Грина, вычислим интеграл по контуру, состоящему из отрезков OA, OB и большей дуги окружности , соединяющей точки A и B, если , , . Решение . Построим контур (см. рис.11.2). Вычислим необходимые производные.
После подстановки вычисленных производных получаем . Двойной интеграл вычислим, переходя к полярным координатам: Проверим ответ, вычислив интеграл непосредственно по контуру как криволинейный интеграл 2-ого рода. Ответ
: 2. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования . Пусть и - произвольные точки односвязной области пл. . Криволинейные интегралы, вычисленные по различным кривым, соединяющим эти точки, в общем случае имеют различные значения. Но при выполнении некоторых условий все эти значения могут оказаться одинаковыми. Тогда интеграл не зависит от формы пути, а зависит только от начальной и конечной точек. Имеют место следующие теоремы. Теорема 1
. Для того, чтобы интеграл Теорема 2.
. Для того, чтобы интеграл Таким образом, если выполняются условия независимости интеграла от формы пути (11.2) , то достаточно указать только начальную и конечную точки: (11.3) Теорема 3. Если в односвязной областивыполняется условие , то существует функция такая, что . (11.4) Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница для криволинейного интеграла. Замечание.
Напомним, что равенство является необходимым и достаточным условием того, что выражение Тогда из выше сформулированных теорем следует, что если функции и их частные производные непрерывны в замкнутой области Г , в которой даны точки и , и , то а) существует функция , такая, что , не зависит от формы пути, , в) имеет место формула Ньютона – Лейбница . Пример 11.2
. Убедимся в том, что интеграл Решение. .
. Как видим, условие выполнено. Значение интеграла не зависит от пути интегрирования. Выберем путь интегрирования. Наиболее простым путём для вычислений является ломаная линия АСВ , соединяющая точки начала и конца пути. (См. рис. 11.3) Тогда . 3. Нахождение функции по её полному дифференциалу . С помощью криволинейного интеграла, который не зависит от формы пути, можно найти функцию , зная её полный дифференциал. Эта задача решается следующим образом. Если функции и их частные производные непрерывны в замкнутой области Г
и , то выражение является полным дифференциалом некоторой функции . Кроме этого интеграл Вычислим
Уравнение . Уравнение . Получаем: Вычислив оба интеграла, получаем в ответе некоторую функцию . б) Теперь тот же интеграл вычислим по формуле Ньютона – Лейбница. Теперь сравним два результата вычисления одного и того же интеграла. Функциональная часть ответа в пункте а) является искомой функцией , а числовая часть – её значением в точке . Пример 11.3.
Убедимся в том, что выражение Решение. Условие существования функции (11.2) было проверено в предыдущем примере. Найдём эту функцию, для чего воспользуемся рисунком 11.4, причём примем за точку . Составим и вычислим интеграл по ломаной АСВ, где : Как было сказано выше, функциональная часть полученного выражения и есть искомая функция Проверим результат вычислений из примера 11.2 по формуле Ньютона –Лейбница: Результаты совпали. Замечание. Все рассмотренные утверждения верны и для пространственного случая, но с большим количеством условий. Пусть кусочно-гладкая кривая принадлежит области в пространстве . Тогда, если функции и их частные производные непрерывны в замкнутой области , в которой даны точки и , и а) выражение является полным дифференциалом некоторой функции , б) криволинейный интеграл от полного дифференциала некоторой функции не зависит от формы пути и , в) имеет место формула Ньютона – Лейбница .(11.6 ) Пример 11.4 . Убедимся в том, что выражение является полным дифференциалом некоторой функции и найдём её. Решение. Для ответа на вопрос о том, является ли данное выражение полным дифференциалом некоторой функции , вычислим частные производные от функций , , . (См. (11.5) ) ; ; ; ; ; . Эти функции непрерывны вместе со своими частными производными в любой точке пространства . Видим, что выполняются необходимые и достаточные условия существования : , , , ч. т. д. Для вычисления функции воспользуемся тем, что линейный интеграл не зависит от пути интегрирования и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница. Пусть точка - начало пути, а некоторая точка - конец пути. Вычислим интеграл по контуру, состоящему из отрезков прямых, параллельных координатным осям. (см.рис.11.5). .
. Тогда , x здесь зафиксирован, поэтому , Здесь зафиксирован y , поэтому . В итоге получаем: . Теперь тот же интеграл вычислим по формуле Ньютона-Лейбница. Приравняем результаты: . Из полученного равенства следует, что , а Занятие 12. Поверхностный интеграл первого рода: определение, основные свойства. Правила вычисления поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла. Приложения поверхностного интеграла первого рода: площадь поверхности, масса материальной поверхности, статические моменты относительно координатных плоскостей, моменты инерции и координаты центра тяжести . ОЛ-1 гл.6, ОЛ 2 гл.3, ОЛ-4§ 11. Практика : ОЛ-6 №№ 2347, 2352, 2353 или ОЛ-5 №№ 10.62, 65, 67. Домашнее задание к занятию 12: ОЛ-6 №№ 2348, 2354 или ОЛ-5 №№ 10.63, 64, 68. Поделитесь с друзьями или сохраните для себя:
|